厕所里的飞刀方程式 — 日本数学界的奇葩研究

上厕所看书会记得特别牢,甚至能借出高难度数学题?

数学史上就有一道“奇葩的”难题,是历代数学家们在厕所里解决的。

厕所冥想

1917年,为了给日本武士增添生活趣味,数学家挂谷宗一(Kaichiba Soichi Kakeya)提出了有味道的“挂谷问题”。


某天,一位武士在上厕所时遭到敌人袭击,矢石如雨,为了挡住射击,需要将刀旋转一周360°(支点可以变化)。但厕所很小,应当使刀扫过的面积尽可能小。面积可以小到多少?

虽然不少人觉得这个问题很无厘头,但在专业的数学家看来,再无厘头的问题,换成数学语言后,都会变成一道有趣的题目。

长度为1的线段在平面上做刚体移动(转动和平移),转过360度并回到原位置,扫过的最小面积是多少?
并且只需考虑旋转180°的情况,因为360°只是180°的重复相加。
长度为1的线段可在点集中转过180°,这样的点集被称为挂谷集。

历代著名数学家纷纷加入了厕所挥刀的浪潮,为了让日本武士可以愉快的上厕所,他们使出了浑身解数。

一刀泯恩仇

首当其冲是某数学爱好者的自转刀法,顾名思义,就是将刀绕中心自转一周。

毫无灵魂的瓜皮旋转,看起来没有什么技术含量。这种战斗力只有5的渣渣操作,就好像铁头娃在你面前耍了一套愣头刀法。

但不管怎么说,这毕竟是挥出了挂谷问题的第一刀。

不久,德国工程师Franz Reuleaux发现的鲁洛克斯三角形引起了数学家们的广泛关注。

因为在鲁洛克斯三角形里面,竟然隐藏着一套有规律的神秘刀法。

细心观察,你会发现线段固定一个端点旋转60°后,会固定另一个端点旋转60°。而更神奇的是,这刀法挥出的形状竟然还有点像粽子。

一时间,鲁洛克斯刀法名声大噪,传遍了整个数学界。

但强中更有强中手,挂谷宗一的同事Matsubara Fujiwara和Tadahiko Kubota,一语道破鲁洛克斯刀法的弊端。

紧接着,他们在鲁洛克斯三角形的基础上调整优化,提出了撼动厕所的正三角形刀法。

这是第一次成功融入平移的刀法!

更令人震惊的是,普通的正三角形竟能以18%的显著压缩,技压鲁洛克斯刀法。

“这就是极限了吗?”尽管正三角形刀法技高一筹,但数学家们还是提出了质疑。其中,就包括问题提出者挂谷宗一。

他认为,面对极限面积这样复杂的数学难题,只有通过形象直观的图解法,才能发现其背后隐藏的规律。

按照图解思路,他将正三角形放在鲁洛克斯三角形里进行分析。

果然,这一关键的图解对比,使挂谷宗一有了惊人的发现:三角形的边在向内收敛。

灵感就在一瞬间,他突然想到了三尖瓣线(Steiner曲线)。

没有半刻犹豫,他反手就拿起刀,在空中划出那一道性感的弧线。

区别于正三角形刀法的先旋转后平移,Steiner刀法更加注重整体平衡,使得线段的平移和旋转可以同时进行。

而更令人震撼的是,用Steiner刀法扫过的面积竟然再次被缩小,只有π/8≈0.392......

所以,在接下来很长的一段时间里,包括挂谷宗一本人,几乎所有数学家都认为这就是最小面积,是挂谷问题的最终解。

Besicovitch飞刀

然而,到了1928年。就在所有人都以为挂谷问题已尘埃落定的时候,前苏联数学家贝西科维奇(Besicovitch),一个风一样的男人出现了。

虽然Besicovitch从来没有看过小李飞刀,但却深深明白“天下武功唯快不破”的硬道理。

他并不满足于在前人智慧上原地踏步的Steiner刀法,他认为真正的至高境界是任意小。

为了突破常见形状,他摒弃了原有的思考方向,采用了新的旋转+平移方法。

举个栗子,如果要将下图右上方的线段移到左下方,其基本思路就是沿着箭头方向滑移——旋转——滑移。

“乍眼一看,虽然刀法平平无奇。但你要明白,简单的招式练到极致就是绝招。”Besicovitch一直是这样坚信着。

由于线条没有宽度,因此无论线条沿线条方向走多远,面积均为零。所以,只要通过增加线条、缩小旋转角度,就可以让线段扫过的面积变的无限小。

鬼畜般的飞刀,眼花缭乱的旋转跳跃,让人摸不着头脑。

但当看完下面的数学公式和极限的思维,数学家才知道每一次鬼畜都被Besicovitch安排的明明白白。

任意小面积的提出固然是吊打所有刀法,但正所谓物极必反,其占据空间范围却是前所未有的大,人们不得不开始担心厕所爆炸的问题。

关于这个问题,历史里并没有记载Besicovitch的回答,但你要相信“只要刀挥得够快,厕所就炸不到你”。

虽然Besicovitch的答案并不完美,但其出乎意料的结论却成为了挂谷问题的亮眼标签。

它是叱咤一时的江湖传奇,也是难以超越的时代经典。

然而,任何东西都不可能得到所有人的认可。

面对神话般存在的Besicovitch刀法,有人持否定的态度:除了炸飞厕所之外,还有什么鸟用?

本文转载自公众号“超级数学建模”

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作者:程平老师
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来源:程平老师
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THE END
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